Официальный веб-сайт учреждения образования
«Cредняя школа № 50» г. Гомеля

г. Гомель, ул. Осипова, 17
тел. 32-05-25

school50@jdroo.by

Поиск информации
Наши достижения

PreviousNext
Ваше мнение
Кто по вашему мнению в большей мере должен заниматься воспитанием ребенка в 6-ой день недели?
семья
школа
другое
Дальнейшее образование

Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

ГОМЕЛЬСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПРОФОРИЕНТАЦИОННЫЙ ПОРТАЛ






Гомельский городской исполнительный комитет








2017 -

ГОД НАУКИ



Президент Беларуси А.Г.Лукашенко 23 декабря 2016 г. подписал указ №481 «Об объявлении 2017 года Годом науки»














"На разных языках из века в век дорогу к знанью ищет человек ..."

Учитель: Халимончик Людмила Михайловна

Класс: 10

Тема: Способы вычисления площадей нестандартных фигур

Цели: Сформировать у учащихся умение составлять программы на языке Паскаль для вычисления площадей нестандартных фигур, различными способами, не применяя известные математические формулы.

Развивать у учащихся:

Технологическое мышление, алгоритмическое мышление, способность анализировать готовые алгоритмы, самостоятельность, сосредоточенность, самоконтроль.

Воспитывать у учащихся:

Внимательность, аккуратность, интерес к самостоятельной работе, творчеству, ответственность, требовательность к себе, трудолюбие, дисциплинированность, чувство собственного достоинства.


I Организационный момент

II Может ли машина мыслить?

Вычислительную машину можно научить мыслить логически. Дело лишь за программами, которые будут руководить её рассуждениями. Задав машине систему аксиом и правила доказательства теорем, можно научить её доказывать математические гипотезы. Взяв все известные ей факты, связывающие между собой полученные данные, машина выберет те, что нужны для  решения поставленной задачи, и успешно решит её.

Такую машину можно смело назвать разумной. Но всё же такой интеллект – производный от человеческого, и круг вопросов, которые компьютер «пожелает» разрешить, зависит от того, что мы, люди в него заложим…

Машину можно научить и выбирать из двух равных возможностей (с чем не мог справиться несчастный буриданов  осёл, умерший от голода на равном расстоянии от двух одинаковых охапок сена). Человек в таких случаях, например, кидает монетку. Заменой монетки для компьютера служит так называемый генератор случайных чисел, выдающий последовательность чисел, каждое из которых не зависит от предыдущего. Сложнее дело обстоит с озарением, вдохновением и фантазией. Нам не удаётся научить машину работать творчески, поскольку мы сами плохо понимаем, почему у человека есть творческие способности, как они устроены, поэтому – как их смоделировать на компьютере.


II Все песчинки вселенной

Задачка, найденная в Древнем Египте на папирусе в XVIII веке до н.э., т.е около четырёх тысяч лет назад. Этот папирус был переписан с какого-то еще более древнего папируса, оригинал которого не сохранился.

В одном городе у великой реки люди очень любили кошек. В семи домах этого города держали по семь  кошек в каждом. Эти кошки были превосходными охотницами и любили ловить мышей.  Однажды каждая из них поймала и съела по семь толстых мышек. Каждая из мышек до этого успела уже съесть по семь колосков, каждый из которых, не будь он съеден мышкой, дал бы по семь мер зерна земледельцу. Хотелось бы знать, сколько всего было в семи домах города у великой реки стройных кошек, сколько они однажды вместе съели толстых мышек, сколько всего колосков успели съесть пойманные кошками мышки и сколько мер зерна не досчитались в урожае земледельцы благодаря зловредному аппетиту съеденных грызунов?

Кроме задачи, в папирусе есть и совершенно правильное ее решение, которое по силам любому современному школьнику, знакомому с умножением. Её решение образует строгую геометрическую прогрессию со знаменателем равным 7.

Египет страной неучей не был, и математику там знали совсем неплохо. В этом мы можем убедиться, посмотрев на египетские пирамиды совершенно правильной формы, с чётко выверенными сторонами и углами, где каждый камень лежит на своём месте.

Древние египтяне уже в те далекие времена умели рассчитывать площади различных геометрических фигур, в том числе и круга.

Сейчас кажется: что тут сложного? Но египтяне в то время не знали число π.

Каждый пятиклассник может вычислить площадь круга по формуле S=πr2, где π=3,14.

Египтяне значение  числа π не знали, а площадь круга рассчитывать умели. Хотя  и приблизительно, но с очень малой погрешностью. Для этого они вычисляли площадь квадрата со стороной, равной 8/9 диаметра круга, площадь которого хотели определить. Площадь такого квадрата действительно близка к площади искомого круга.

Умели египтяне без числа  π вычислять площади и объёмы гораздо более сложных фигур, чем круг, таких как усечённая пирамида и полушарие.

III Практическая работа по нахождению площадей

Сейчас мы постараемся вычислить площадь круга различными способами:

Пусть нам дан круг радиуса r=3см.

  1. 1. Современный способ

Вычисляем по формуле: S=πr2 S=3,1415*32=28,2735

Кому лень вычислять самому может написать программу на языке программирования Паскаль. Пусть трудится машина.

Но подчёркиваю, что для того, чтобы машина что-то вам решила, надо самому знать хотя бы ход решения.

Program krug;

Var s,r,pi: integer;

Begin

Readln(r,pi);

s:=pi*r*r;

writeln(s)

end.

Вопрос: Чем хороша эта программа? Ведь радиус мы не задаём конкретным числом. Она написана в общем виде.

Ответ: Мы можем решить эта задачу для бесконечного  числа радиусов. Остаётся только по оператору ввода ввести каждый раз конкретное число.


  1. 2. Способ Древнего Египта

Вычисляем площадь квадрата со стороной =8/9 диаметра круга.

У нас дан радиус r=3. Следовательно, диаметр d=2*r=2*3=6 (см).

Площадь квадрата Sквадрата2.

И мы получили а=8/9*d=8/9*6=5,3333

Sквадрата=5,33332=28,4441.

Следовательно, площадь круга r=3см.

Sкруга= Sквадрата=28,4441

Можем вычислить абсолютную погрешность:

Р=I 28,4441 – 28,2735 I = 0,1706

Как видим эта довольно небольшая погрешность.

  1. 3. Способ плиточника

    Нанесем квадратную сетку на фигуру. Тогда ее площадь будет не меньше количества квадратиков сетки, лежащих целиком внутри фигуры, умноженного на площадь одного квадратика и не больше, чем количество клеток, имеющих общие точки с этой фигурой также, умноженной на площадь одного квадратика.

Формула Пика:

S = n + m/2 – 1,

где    n – количество узлов сетки, лежащих внутри фигуры,

m - количество узлов сетки, лежащих на его границе.

Конечно же, при вычислении площадей простейших геометрических фигур – многоугольников – сетка (палетка) явно ни к чему. Но верные способы  их нахождения были придуманы далеко не сразу. Так древние вавилоняне считали, что площадь четырехугольника равна произведению полусумм противоположных сторон.

С развитием науки и техники возникла острая потребность вычисления площадей не только многоугольников, но и произвольных фигур. Начали решать эту проблему Архимед и итальянский монах XVII века Бонавентура Кавальери, а окончательно решили эту проблему И.Ньютон и Г. Лейбниц, создавшие интегральное исчисление, частью которого является и вычисление площадей фигур, ограниченными заданными кривыми.


  1. 4. Способ Монте-Карло (способ песчинок)

Метод статистических испытаний.

Этот способ вычисления площадей нестандартных фигур был разработан в Америке в министерстве военной промышленности перед Второй мировой войной при разработке секретного проекта. Получил своё название от города Монте-Карло, где находятся самые знаменитые казино.


Суть метода:

Наша фигура располагается внутрь какой-либо фигуры, площадь которой можно легко вычислить (например, квадрат, круг, прямоугольник). По всей поверхности квадрата  равномерно рассыпается песок, и считаются количество песчинок во всём квадрате n и в нашей нестандартной фигуре k. Площадь нашей фигуры находим по формуле:

S=S1*k/n, где S1- это площадь квадрата.

В компьютере песчинки рассыпаются в виде чисел с помощью датчика случайных чисел.

Теперь и мы попробуем вычислить площадь круга (он будет у нас нестандартной фигурой) методом Монте-Карло. Вместо песчинок у вас будут точки внутри квадрата, разбросанные равномерно. Естественно, чем больше количество точек, тем точнее будет вычисление. Сравним ответ с предыдущими способами.


IV Подведение итогов

Существует много способов нахождения площадей фигур, которые, кажется, никак нельзя вычислить, используя точные формулы. Даже если фигура представляет собой бесформенную кляксу, то её можно разбить на множество прямоугольников и потом сложить их площади. Это не так уж и сложно как кажется, если использовать метод Ньютона-Лейбница. Но это уже область высшей математики.


V Домашнее задание:

Написать программу на языке Паскаль для вычисления площади круга методом Древних Египтян.

 

Министерство

образования республики БеларусьaduДетский

правовой сайтАкадемия

последипломного образованияГомельский городской

исполнительный комитетГомельский

областной институт развития образования